3D-конвейер: от вершины к пикселю

Цепочка матриц: пять пространств

«Где на экране эта вершина?» — это последовательность смен системы координат, каждая = умножение на матрицу 4×4 в однородных координатах:

Model ставит меш в мир (позиция/поворот/масштаб инстанса). View — это обратная матрица камеры: вместо «двигать камеру» двигаем весь мир так, будто камера в начале координат смотрит вдоль оси. Projection не проецирует сама — она готовит деление: кладёт глубину z в координату w и масштабирует по полю зрения. На GPU первые три обычно слиты в одну MVP-матрицу (model-view-projection) и умножаются за один проход в вершинном шейдере.

Перспектива = деление на глубину

Дальние объекты меньше — потому что экранная координата пропорциональна 1/z. Камера-обскура (pinhole) с фокусным расстоянием d: точка (x, y, z) в пространстве камеры падает на плоскость экрана в

Числовой пример. Фокус d=4. Точка A=(2, 1, 5) → x_s = 4·2/5 = 1.6, y_s = 4·1/5 = 0.8. Та же точка вдвое дальше, z=10 → x_s = 4·2/10 = 0.8. Удвоил глубину — вдвое сократил экранный сдвиг. Это и есть форшортенинг, и он нелинеен по z — отсюда все эффекты глубины (и проблемы точности дальше).

Чтобы упаковать это деление в матричную цепочку, переходят в однородные координаты: вершина — это (x, y, z, w), и точка (x, y, z, w) «значит» (x/w, y/w, z/w). Матрица проекции устроена так, что в выходную w попадает z (в правосторонней системе — −z):

clip = Projection · (x, y, z, 1)ᵀ
  x_clip = x / (aspect · tan(fov/2))   // масштаб по горизонтали
  y_clip = y / tan(fov/2)              // масштаб по вертикали
  z_clip = A·z + B                     // A,B зависят от near/far
  w_clip = −z                          // ← сюда уехала глубина

NDC = clip / w_clip        // perspective divide: деление на −z
  → x_ndc, y_ndc, z_ndc  ∈ [−1, 1]

Деление на w и есть perspective divide — единственный нелинейный шаг во всей цепочке. После него координаты лежат в кубе NDC [−1,1]³ (Normalized Device Coordinates), и финальное viewport-преобразование линейно растягивает x_ndc, y_ndc в пиксели окна, а z_ndc — в значение для z-буфера.

Зачем клиппинг — и почему до деления

На z=0 деление взрывается, а на z<0 (за камерой) точка с отрицательным w при делении зеркалится в кадр — геометрия за спиной «вылезает» спереди вверх ногами. Поэтому перед perspective divide треугольники режут по ближней плоскости отсечения (а заодно по остальным граням фрустума). Полигон, пересекающий плоскость, обрезается алгоритмом Сазерленда–Ходжмана: идём по рёбрам, точки внутри оставляем, на пересечении ребра с плоскостью вставляем новую вершину. Треугольник может стать четырёх-/пятиугольником — его заново триангулируют.

Ключ: клиппинг делают в клип-пространстве, до деления на w, где плоскости фрустума — простые линейные неравенства −w ≤ x ≤ w, −w ≤ y ≤ w, −w ≤ z ≤ w. После деления знак w уже потерян, и точки из-за камеры не отличить от точек перед ней. Дешёвый частый случай — guard-band: целиком видимые и целиком отбракованные треугольники пропускают мимо дорогого клиппинга, режут только пересекающие край.

Растеризация и z-буфер

После проекции треугольник — это три точки на экране. Растеризатор проходит пиксели внутри (тест по знаку рёберных функций / барицентрика) и для каждого интерполирует глубину. Кто ближе при перекрытии? Ответ дал z-буфер (Кэтмулл и Штрассер, 1974): отдельный буфер размером с экран, в каждой ячейке — глубина ближайшего пока фрагмента.

// на старте кадра: z_buffer[*] = +∞ (дальше некуда)
for each триангл:
  for each пиксель (px,py) внутри:
     z = интерполировать_глубину(px, py)
     if z < z_buffer[px, py]:        // ближе того, что уже лежит?
         z_buffer[px, py] = z          // обновляем глубину
         frame_buffer[px, py] = цвет   // и пишем пиксель
     // иначе фрагмент скрыт — выбрасываем

Числовой пример. Стена на z=7 уже залила пиксель (z_buffer=7). Приходит столб на z=5: 5 < 7 → рисуем, z_buffer=5. Следом фрагмент дыма на z=9: 9 < 5? нет → выбрасываем. Порядок прихода не важен — побеждает ближайший. В этом сила: не надо сортировать полигоны, как в painter / BSP. Цена — память на полноэкранный буфер глубины и запись/чтение на каждый фрагмент. Именно поэтому PS1 (1994) z-буфер не потянула, а Quake в софте обходился сортировкой спанов — об этом ниже.

Backface culling отсекает половину треугольников ещё до растеризации: после проекции у видимой лицевой грани вершины идут по экрану в условленном направлении обхода (скажем, по часовой); если знак ориентированной площади в экранных координатах противоположный — грань повёрнута от нас, выбрасываем. Один знак вместо рисования — поэтому культинг делают в 2D после проекции, а не скалярным произведением нормали в 3D.

🕹 В какие игры поиграть — и что заметить

Один конвейер, но у каждого железа свой компромисс на шагах «глубина», «точность вершин» и «текстуры». Артефакты эпохи — это прямой рентген того, какой шаг урезали. По каждому: что внутри и во что сыграть, чтобы увидеть руками.